SUBIECTE , gradul II, Matematica, sesiunea 2016, centre universitare - Iași, București, Ploiești

SUBIECTE , gradul II, Matematica, sesiunea 2016, centre universitare - Iași, București, Ploiești

GRADUL II, 2016

				IASI
1. Elaborati,  un proiect didactic pentru lectia,				de predare „ Ecuatii,  ale dreptei în plan” (clasa a X-a, geo-
metrie), prezentând:
• Ecuatia, determinată de un punct si, o pantă (punct si, directie),,							ecuatia, determinată de două puncte,
ecuatiile,	parametrice, ecuatia,		generală (cu justificarea lor).
• Rezolvati, si, comentati,		din punct de vedere metodic exercitiul:,
Să se determine multimea,		punctelor M din plan cu proprietatea că există t ∈ R, astfel încât
		#	»	#»	#»
		OM = (4 − t) ı + (3t − 2)  ,
#»	#»
unde {O, ı ,	} este un reper cartezian.
2. Exemplificati, fundamentarea cunostintelor,,				de divizibilitate prin rezolvarea următorului exercitiu:,
Dacă n ∈ N, atunci arătati, că 3n2 − 1 nu se divide nici cu 3, nici cu 5 si, nici cu 7.
					2(x − 1)
3. Se consideră functia, f : (0, ∞) → R, f (x) = LN x −						.
					x + 1

A)  Să se traseze graficul si să se determine punctele de pe grafic în care tangenta este paralelă cu

,

dreapta de ecuatie 9y = 2x.

,

B)  Elaborati un barem de notare pentru punctul A).

,

GRADUL II, 2016

BUCURESTI

1. Se consideră următoarea problemă:

Dacă A = {a + bI | A, B ∈ N∗}, atunci pentru orice z ∈ A, există n ∈ N∗ cu zN ∈/ A.

A)

Verificati, pe două cazuri particulare dacă problema este adevărată.

B)

Ce rol ar putea avea, în rezolvarea la clasă a problemei, studiul unor cazuri particulare?

C)

Rezolvati,

problema dată.

D)

Anticipati, două dificultăti, pe care le-ar putea avea elevii în rezolvarea problemei.

E)

Reformulati,

enuntul,

problemei, astfel ca noua problemă să poată fi rezolvată folosind acelasi,  ar-

gument.

2.   A)

Să se arate că ecuatia, x + LN |x| = 0 are o solutie, reală unică x0 ∈ (0, 1). Comentati,, din punct de

vedere metodic, dificultătile, pe care le-ar putea întâmpina elevii în rezolvarea problemei.

1

f : R \ {x0} → R, f (x) =

,

dacă x 6= 0 si,

x 6= x0 .  Să se studieze conti-

B)

Fie functia,

x + LN |x|

0,

dacă x = 0

nuitatea si derivabilitatea functiei f în punctul x = 0.  Să se determine punctele de extrem local

,

,

ale functiei,

f .  Precizati,,

în legătură cu Teorema lui Fermat, ce greseală,

ar putea face elevii la

determinarea punctelor de extrem ale functiei, anterioare.

E

x + 1

C)

Să se calculeze I = Z1

DX.  Dati,  un alt exemplu de integrală definită care să contină,

x2 + x LN x

expresia

1

si, care poate fi calculată prin metoda substitutiei,

(schimbării de variabilă).

x + LN x

3. Se consideră următorul enunt:,

Fie ABC un triunghi si,

P un punct situat pe cercul circumscris triunghiului.  Fie L, M si,  N

picioarele perpendicularelor duse din punctul P pe dreptele AC, BC, respectiv AB. Atunci punctele

L, M si, N sunt coliniare.

A)

Identificati, cel putin,

trei notiuni,

geometrice ce apar în acest enunt, si, descrieti, modul cum le puteti,

introduce la clasă.

B)

Demonstrati, acest enunt, folosind (eventual) mai multe metode.

C)

Enuntati,, o (posibilă) reciprocă a acestui enunt.,

D)

Decideti,,

cu justificare, dacă următorul enunt, este adevărat:

Printr-un punct P al unui cerc se construiesc coardele [P A], [P B]

si,  [P C].  Pe fiecare coardă ca

diametru se construieste,

câte un cerc. Atunci aceste cercuri se intersectează două câte două în trei

puncte (diferite de P ) coliniare.

		PLOIESTI
1.	Elaborati, un proiect didactic pentru lectie, „ Functii, injective, surjective, bijective” (definitii,, proprietăti,,
	exemple, contraexemple; pentru proprietătile, prezentate în cadrul lectiei,		se vor da demonstratiile,	com-
	plete).
2.	Exemplificati,  fundamentarea noilor cunostinte,,  prin rezolvarea următoarelor probleme.  Descrieti,  care
	credeti,  că sunt dificultătile,	pe care le-ar putea avea un elev în rezolvarea acestor probleme.  Indicati,
	modul în care ati, putea interveni pentru a-i ajuta pe elevi să depăsească,		aceste dificultăti:,

A)  Se consideră multimea,	G ⊂ M2(Q), G = __	a	10b	_	a, b ∈ Q, a2 −
		b	a _
				_
				_
				_

                         _

(i) Să se verifice că A =	19	60	∈ G.
	6	19

_

10b² = 1  .

(ii) Să se arate că XY ∈ G, pentru orice X, Y ∈ G.

(iii) Să se demonstreze că multimea G este infinită.

,

B)  Să se arate că în orice triunghi ABC sunt adevărate următoarele formule:

(i)     S = p · r;

(ii)      S = ^abc_4R ,

unde r si R sunt razele cercului înscris, respectiv circumscris triunghiului ABC, cu a, b si c s-au

,                                                                                                                      ,

notat lungimile laturilor BC, CA, respectiv AB, cu p s-a notat semiperimetrul triunghiului ABC, iar cu S aria acestui triunghi.

3. Pentru evaluarea finală a cunostintelor de analiză matematică pentru clasa a XI-a, elevii primesc

,     ,

următorul subiect:

Să se enunte teorema lui L’Hôpital si să se calculeze cu ajutorul ei  LIM   ^{SIN x + x COS x}  .

^{,                                   ,}                                              X→0 E^X − E^−X − 2 SIN X

Faceti câteva comentarii din punct de vedere metodic privind modul de calcul al limitei. Elaborati un

,                                                                                                                                      ,

barem de corectare, rezolvând complet problema.